Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：
①c=0时，y=f（x）是奇函数；
②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；
③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多有两个实数根；
上述命题中正确的命题的序号是

 

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Answer 1

分析：①c=0，f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-f（x），由奇函数的定义判断
②b=0，c＞0，代入可得f（x）=x|x|+c=

x2+c，x≥0 -x2+c，x＜0

，令f（x）=0，通过解方程判断
③根据中心对称的条件进行证明是否满足f（2c-x）=f（-x）
④举出反例如c=0，b=-2

解答：解：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-x|-x|+b（-x）=-f（x），故①正确
②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=

x2+c，x≥0 -x2+c，x＜0

令f（x）=0可得x=-

c

，故②正确
③设函数y=f（x）上的任意一点M（x，y）关于点（0，c）对称的点N（x′，y′），则

x= -x′ y=2c-

y′．代入y=f（x）可得2c-y′=-x′|-x′|-bx′+c?y′=x′|x′|+bx′+c故③正确
④当c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2故④错误
故答案为：①②③

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、对称性（中心对称的证明）及函数图象在解题中的运用，要求考生熟练掌握函数的性质，并能灵活运用性质求解．