题目内容
若对任意的x＞0，不等式x3-kx+2≥0恒成立，则实数k的取值范围是分析：由题意将参数k分离出来，对于含x的式子，利用导数求其极值点和最值点，根据不等式x3-kx+2≥0恒成立，求出k的范围．
解答：解：∵x＞0，不等式x3-kx+2≥0恒成立，
∴k≤x2+
，令h（x）=x2+
，只要求得h（x）的最小值即可；
h′（x）=2x-
=2×
，令h′（x）=0，得x1=-1，x2=1，
∵x＞0，
∴当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
∴h（x）在x=1处取极小值，也是最小值；
∴hmin（x）=h（1）=1+2=3，
∴k≤3，
故答案为（-∞，3]．
∴k≤x2+
| 2 |
| x |
| 2 |
| x |
h′（x）=2x-
| 1 |
| x2 |
| x2-1 |
| x2 |
∵x＞0，
∴当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
∴h（x）在x=1处取极小值，也是最小值；
∴hmin（x）=h（1）=1+2=3，
∴k≤3，
故答案为（-∞，3]．
点评：此题主要考查了参数分离思想，还考查了基本初等函数求导问题，对此要熟练掌握．
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