Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．
（2）若a=

5

2

且关于x的方程f（x）=-

1

2

x2+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*．求证：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，等价于f（x）在[1，+∞）上的最大值小于等于0，根据a的范围分类讨论，利用导数即可求得f（x）的最大值；
（2）表示出方程，分离出b，然后构造函数g（x）=lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1（x＞0），利用导数可求出g（x）在[1，4]上的值域，作出g（x）的草图，由图象即可求得b的范围；
（3）由（1）得a=1时f（x）≤0，即lnx≤x-1，则a_n+1=lna_n+a_n+2可化为a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），所以

an+1+1

an+1

≤2，由此构造n-1个不等式累乘即可得到结论；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
f（x）在[1，+∞）上无最大值，不合题意；
当0＜

1

a

≤1即a≥1时，f′（x）≤0，f（x）在[1，+∞）上递减，
所以f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=-a+1，
由f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，得-a+1≤0，解得a≥1；
当

1

a

＞1即0＜a＜1时，x∈[1，

1

a

）时f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（

1

a

，+∞）时f′（x）＜0，f（x）递减，
所以f(x)max=f(

1

a

)=-lna，则-lna≤0，解得a≥1，此时无解；
综上，a≥1，所以实数a的最小值为1；
（2）f（x）=-

1

2

x2+b，即lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1=b，
令g（x）=lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1（x＞0），则g′（x）=

1

x

+x-

5

2

=

(x- 1 2 )(x-2)

x

，
当1≤x＜2时g′（x）＜0，g（x）递减，当2＜x≤4时g′（x）＞0，g（x）递增，
所以x=2时g（x）取得最小值为ln2-2，
又g（1）=-1，g（4）=ln4-1，所以g（x）的最大值为ln4-1，
作出g（x）在[1，4]上的草图如下：

由于方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，
根据图象可知b的范围为（ln2-2，-1]；
证明：（3）由（1）知，因为a_n+1=lna_n+a_n+2，
所以a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以

a2+1

a1+1

×

a3+1

a2+1

×

a4+1

a3+1

×…×

an+1

an-1+1

≤2×2×2×…×2=2^n-1，即

an+1

a1+1

≤2n-1，
所以a_n+1≤2ⁿ，即an≤2n-1；

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、数列与不等式的综合、函数恒成立等知识，解决（3）问的关键是借助（1）问结论恰当构造不等式．