Question

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（1）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么k₁•k₂是定值吗？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由l与圆相切，知m²=1+k²，由，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，所以由此能求出k的取值范围和x₂-x₁的最小值．
（2）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0），，=．由此能证明k₁•k₂是定值．
解答：解：（1）∵l与圆相切，∴∴m²=1+k²（2分）
由，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，∴，∴k²＜1，∴-1＜k＜1，故k的取值范围为（-1，1）．（5分）
由于，
∵0≤k²＜1∴当k²=0时，x₂-x₁取最小值．（7分）
（2）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0），
∴，∴=（10分）
==
==，
由m²-k²=1，∴为定值．（14分）
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．