Question

已知数列{a_n}中，a₁＝，点(n，2a_n＋1－a_n)(n∈N^*)在直线y＝x上，

   （1）计算a₂，a₃，a₄的值；

   （2）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求证：数列{b_n}是等比数列；

   （3）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ．的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解  (1)由题意，2a_n＋1－a_n＝n，又a₁＝，所以2a₂－a₁＝1，解得a₂＝，

同理a₃＝，a₄＝．

(2)因为2a_n＋1－a_n＝n，

所以b_n＋1＝a_n＋2－a_n＋1－1＝－a_n＋1－1＝，

b­_n＝a_n＋1－a_n－1＝a_n＋1－(2a_n＋1－n)－1＝n－a_n＋1－1＝2b_n＋1，即＝

又b₁＝a₂－a₁－1＝－，所以数列{b_n}是以－为首项，为公比的等比数列．

(3)由(2)得，b_n＝－×()＝－3×()，T_n＝＝3×()－．

又a_n＋1＝n－1－b_n＝n－1＋3×()，所以a_n＝n－2＋3×()ⁿ，

所以S_n＝－2n＋3×＝＋3－．

由题意，记c_n＝．要使数列{c_n}为等差数列，只要c_n＋1－c_n为常数．

c_n＝＝＝＋(3－λ)×，

c_n－1＝＋(3－λ)×，

则c_n－c_n－1＝＋(3－λ)×(－)．

故当λ＝2时，c_n－c_n－1＝为常数，即数列{}为等差数列．