Question

设椭圆C₂：=1（a＞b＞0），抛物线C₂：x²+by=b²．
（1）若C₂经过C₁的两个焦点，求C₁的离心率；
（2）设A（0，b），，又M、N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在C₂上，求椭圆C和抛物线C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c²=b²，由a²=b²+c²，求得C₁的离心率；
（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁）（x₁＞0），由△AMN的垂心为B，根据三角形的垂心是三条高线的交点，可知，再根据三角形的重心坐标公式求得△QMN的重心，代入抛物线C₂：x²+by=b²，即可求得椭圆C和抛物线C₂的方程．
解答：解：
（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c²=b²，
由．
（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁）（x₁＞0），由△AMN的垂心为B，有．
由点N（x₁，y₁）在抛物线上，x₁²+by₁=b²，解得：
故，
得△QMN重心坐标．
由重心在抛物线上得：，，
又因为M、N在椭圆上得：，
椭圆方程为，抛物线方程为x²+2y=4．
点评：此题是个中档题．考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程．考查抛物线的定义和简单的几何性质，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，同时考查了三角的垂心和重心有关性质和公式，综合性强．