Question

已知x＞0，y＞0，且x+2y+xy=30，求xy的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

由x+2y+xy=30，可得，y= 　　故，令 　　利用判别式法可求得t(即xy)的最大值，但因为x有范围0＜x＜30的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解． 　　解法一：由x+2y+xy=30，可得，y= 　　 　　　 　　注意到 　　可得xy≤18 　　当且仅当x+2=，即x=6时等号成立，代入x+2y+xy=30中得y=3，故xy的最大值为18． 　　解法二：∵　x，y∈R* 　　∴　x+2y代入x+2y+xy=30中得： 解此不等式得0≤xy≤18．下面解法见解法一，下略． 解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意，而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．