题目内容

已知正项数列a_n中，a₁=2，点 $数学公式$ 在函数y=x²+1的图象上，数列b_n中，点（b_n，T_n）在直线 $数学公式$ 上，其中T_n是数列b_n的前项和．（n∈N⁺）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）求数列b_n的前n项和T_n．

解：（1）由题意得：a_n+1=a_n+1?a_n+1-a_n=1
∴a_n是以2为首项，1为公差的等差数列
∴a_n=n+1
（2）由题意得： $\text{[math]}$ ①
当n=1时，b₁=2
当n≥2时， $\text{[math]}$ ②
①-②得： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴b_n是以2为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列
分析：（1）点 $\text{[math]}$ 在函数y=x²+1的图象上得到a_n+1-a_n=13所以a_n是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由点（b_n，T_n）在直线 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，再应用通项与前n项和之间的关系求解．
点评：本题通过函数图象与点的关系，转化为横纵坐标间的关系，构建数列，来考查数列的通项公式的求法及通项与前n项和之间的关系．

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已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+

(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；
（2）探究a_n与

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已知正项数列{a_n}中，a₁=2，点(

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，数列{b_n}中，bn=2an．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

已知正项数列{a_n}中a₁=2，点(

，an+1)在函数f(x)=

x3+x的导函数y=f'（x）图象上，数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线y=-

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（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足cn=

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