Question

14．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=DE=2．
（Ⅰ）在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需证明）；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的点F，求直线BF与平面ADEB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可确定F的位置
（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）取线段CE的中点F，连接BF，则BF∥平面ACD；
（Ⅱ）∵AB=CD=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=DE=2
∴AD²=AC²+CD²，∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD，
建立以C为坐标原点，CD，CA，分别为x，y轴，过C⊥平面ACD的直线为z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，$\sqrt{3}$，0），D（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，1），F（$\frac{1}{2}$，0，1），
则$\overrightarrow{AD}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$，0），
设平面ADEB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}y}\\{z=0}\end{array}\right.$，
设y=1，则x=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{M}||\overrightarrow{BF}|}$|=$\frac{\sqrt{39}}{26}$，
即直线BF与平面ADEB所成角的正弦值sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BF}$＞|=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．

点评 本题主要考查线面平行的判断以及直线和平面所成角的求解，根据相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．