Question

已知正四棱锥相邻两侧面的夹角是120°，它的底面边长为a，求棱锥的高、斜高、侧棱长．

Answer 1

答案：
解析：

解：如图所示，由题意可知，要求的斜高、高、侧棱长只要有一个求出，其他两个便可以在相应的直角三角形中求出．解决本题的突破口在于找出二面角的平面角，由此可得到一些线段的关系．在Rt△AEO中，AE，OE可以求出，从而BE可求出，再由Rt△SBG∽Rt△CBE知，斜高SG可求出． 　　过点S作SO⊥底面AC，SG⊥BC，O，G为垂足，过点A作AE⊥SB，垂足为点E，连结CE 　　∵　△SAB≌△SBC 　　∴　CE⊥SB(由对称性) 　　∴　∠AEC=120° 　　连结EO 　　∵　AO=OC，AE=EC 　　∴　∠AEO=60° 　　在Rt△BOG中，BG=，∠OBG=45° 　　∴　BO= 　　在Rt△AOE中 　　OE= 　　AE= 　　BE= 　　∵　△SBG∽△CBE 　　∴　 　　即 　　∴　SG= 　　在Rt△SBG中 　　SB= 　　　 　　在Rt△SOG中 　　SO= 　　　 　　∴　棱锥的斜高为，高为，侧棱长为．