题目内容

已知曲线C:y=,Cn:y=(n∈N*).

从C上的点Qn(xn,yn)作x轴的垂线,交Cn于点Pn,再从点Pn作y轴的垂线,交C于点Qn+1(xn+1,yn+1).设x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn-yn+1.

(1)求Q1、Q2的坐标;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)记数列{an·bn}的前n项和为Sn,求证:Sn＜.

(1)解:由题意得Q1(1,1),P1(1,),Q2(,).

(2)解:∵Qn(xn,yn)、Qn+1(xn+1,yn+1),

∴点Pn的坐标为(xn,yn+1).

∵Qn、Qn+1在曲线C上,

∴yn=,yn+1=.

又Pn在曲线Cn上,yn+1=,

∴xn+1=xn+2-n.∴an=2-n.

(3)证明:xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1

=2-(n-1)+2-(n-2)+…+2-1+1

=1·=2-21-n,

∴an·bn=(xn+1-xn)·(yn-yn+1)=2-n(-)=2-n(-)=.

∵2·2n-2≥2n,2·2n-1≥3,∴an·bn≤.

Sn=a1b1+a2b2+…+anbn≤++…+=·=(1-)＜.

练习册系列答案
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（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=
1
0
和e2=
0
1
．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
(θ为参数），C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
(t为参数）
（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
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已知曲线C:(m∈R)

（1）   若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（2）     设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。

【解析】（1）曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得，所以m的取值范围是

(2)当m=4时，曲线C的方程为，点A,B的坐标分别为，

由，得

因为直线与曲线C交于不同的两点，所以

即

设点M，N的坐标分别为，则

直线BM的方程为，点G的坐标为

因为直线AN和直线AG的斜率分别为

所以

即,故A，G，N三点共线。

 

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