题目内容
[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F，判断BE是否平分∠ABC，并说明理由．
B．选修4-2：短阵与变换
已知矩阵
，矩阵M对应的变换把曲线y=sinx变为曲线C，求C的方程．C．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是
，求曲线C的普通方程．D．选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．
【答案】分析：A．BE平面∠ABC．根据等腰三角形的性质，可得∠D=∠CAD，∠ABC=∠ACB．根据同弧所对的圆周角相等，进而可得ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC．
B．设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P（x，y）在矩阵M变换下的对应点，根据矩阵变换可得y=sinx，从而
=sin2x，从而可求曲线C的方程．
C．曲线C的极坐标方程
（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ，化简可得普通方程；
D．注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，
，从而得解．
解答：A．证明：BE平面∠ABC．
∵CD=AC，∴∠D=∠CAD．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD． …（5分）
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．
∴∠ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC． …（10分）
B．解：设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P（x，y）在矩阵M变换下的对应点，
则有
，…（5分）
所以
，又点P（x，y）在曲线y=sinx上，
即y=sinx，从而
=sin2x，
所求曲线C的方程为y=2sin2x．…（10分）
C．解：曲线C的极坐标方程
（sinθ+cosθ），…（5分）
化为直角坐标方程为x2+y2-2
y=0，
即
=4．…（10分）
D．解：注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，
利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，
…（5分）
从而x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，
所以x2+y2+z2的最小值为3． …（10分）
点评：本题是系列4的知识，考查基础，考查学生灵活解决问题的能力．
B．设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P（x，y）在矩阵M变换下的对应点，根据矩阵变换可得y=sinx，从而
=sin2x，从而可求曲线C的方程．C．曲线C的极坐标方程
（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ，化简可得普通方程；D．注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，
，从而得解．
解答：A．证明：BE平面∠ABC．
∵CD=AC，∴∠D=∠CAD．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD． …（5分）
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．
∴∠ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC． …（10分）
B．解：设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P（x，y）在矩阵M变换下的对应点，
则有
，…（5分）所以
，又点P（x，y）在曲线y=sinx上，即y=sinx，从而
=sin2x，所求曲线C的方程为y=2sin2x．…（10分）
C．解：曲线C的极坐标方程
（sinθ+cosθ），…（5分）化为直角坐标方程为x2+y2-2
y=0，即
=4．…（10分）D．解：注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，
利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，
…（5分）
从而x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，
所以x2+y2+z2的最小值为3． …（10分）
点评：本题是系列4的知识，考查基础，考查学生灵活解决问题的能力．
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[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．
选做题：考生在下面两小题中，任选一道作答，如果全做则按第1小题评分．
附加题：（选做题：在下面A、B、C、D四个小题中只能选做两题）
，求线段AC的长度．
和特征值λ2=2及对应的一个特征向量
，试求矩阵A．
（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．