Question

已知函数f（x）=x³-ax，x∈[0，1]，关于x的不等式|f（x）|＞2的解集为空集，则满足条件的实数a的取值范围是（　　）

A．[-1，0]

B．[-1，3]

C．{0}

D．[-1，+∞）

Answer 1

分析：由题意，x∈[0，1]，关于x的不等式|f（x）|＞2的解集为空集，等价于x∈[0，1]，关于x的不等式|f（x）|≤2恒成立，即|f（x）_max|≤2且|f（x）_min|≤2，分类讨论，求出函数的最值即可．

解答：解：由题意，x∈[0，1]，关于x的不等式|f（x）|＞2的解集为空集，等价于x∈[0，1]，关于x的不等式|f（x）|≤2恒成立，即|f（x）_max|≤2且|f（x）_min|≤2
由f（x）=x³-ax可得f′（x）=3x²-a，
若a≤0，则f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，所以函数单调增，所以x=0时，f（x）_min=0，x=1时，f（x）_max=1-a，则|1-a|≤2，∴-1≤a≤3，∵a≤0，∴-1≤a≤0；
若3≥a＞0，则函数在[0，1]上单调减，所以x=0时，f（x）_max=0，x=1时，f（x）_min=1-a，则|1-a|≤2，∴-1≤a≤3，
∵3≥a＞0，，∴0＜a≤3；
若a＞3，则函数在[0，1]上单调增，所以x=0时，f（x）_min=0，x=1时，f（x）_max=1-a，则|1-a|≤2，∴-1≤a≤3，
∵a＞3，∴a∈∅；
综上，满足条件的实数a的取值范围是[-1，3]
故选B．

点评：本题考查不等式的解集，考查转化化归思想，解题的关键是转化为x∈[0，1]，|f（x）_max|≤2且|f（x）_min|≤2．