Question

【题目】已知函数（）．

（1）当时，求函数的零点；

（2）求的单调区间；

（3）当时，若对恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）两个零点，；

（2）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递减区间为，没有单调递增区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

（3）．

【解析】

试题分析：（1）令，即，即，将代入可求得两根为，；（2），对分成，，，四类来讨论函数的单调区间；（3）当时，当时，，当时，由（2）可知函数在时取得最小值，故，解得．

试题解析：

（1）令，即，∵，∴．

，∵，∴．

∴方程有两个不等实根：，．

∴当时，函数有且只有两个零点，．

（2）．

令，即，解得或．

当时，列表得：

	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

当时，

①若，则，列表得：

	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

②若，易知的单调减区间为；

③若，则，列表得：

	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为，没有单调递增区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

（3）∵， ∴当时，有，，，∴，从而．

当时，由（2）可知函数在时取得最小值．

∴为函数在上的最小值．

∴，解得．

∴的取值范围是．