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若n为奇数，则(
)
4n
＋(
)
4n
＝________．
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已知数列A
n
：a
1
，a
2
，…，a
n
．如果数列B
n
：b
1
，b
2
，…，b
n
满足b
1
=a
n
，b
k
=a
k-1
+a
k
-b
k-1
，其中k=2，3，…，n，则称B
n
为A
n
的“衍生数列”．
（Ⅰ）写出数列A
4
：2，1，4，5的“衍生数列”B
4
；
（Ⅱ）若n为偶数，且A
n
的“衍生数列”是B
n
，证明：b
n
=a
1
；
（Ⅲ）若n为奇数，且A
n
的“衍生数列”是B
n
，B
n
的“衍生数列”是C
n
，…．依次将数列A
n
，B
n
，C
n
，…的首项取出，构成数列Ω：a
1
，b
1
，c
1
，…．证明：Ω是等差数列．
德国数学家在1937年提出了一个著名的猜想：“任给一个正整数n，若n是偶数，则将它减半（即
n
2
）；若n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1）．不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1”．如6→3→10→5→16→8→4→2→1，如果对正整数n（首项），按上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，那么n的所有可能值共有（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
（2009•奉贤区一模）首项为正数的数列{a
n
}满足
a
n+1
=
a
n
2
+3
4
，(n∈
N
*
)
．
（1）当{a
n
}是常数列时，求a
1
的值；
（2）用数学归纳法证明：若a
1
为奇数，则对一切n≥2，a
n
都是奇数；
（3）若对一切n∈N
*
，都有a
n+1
＞a
n
，求a
1
的取值范围；
（4）以上（1）（2）（3）三个问题是从数列{a
n
}的某一个角度去进行研究的，请你类似地提出一个与数列{a
n
}相关的数学真命题，并加以推理论证．
已知数列A
n
：a
1
，a
2
，…，a
n
．如果数列B
n
：b
1
，b
2
，…，b
n
满足b
1
=a
n
，b
k
=a
k-1
+a
k
-b
k-1
，其中k=2，3，…，n，则称B
n
为A
n
的“衍生数列”．
（Ⅰ）写出数列A
4
：2，1，4，5的“衍生数列”B
4
；
（Ⅱ）若n为偶数，且A
n
的“衍生数列”是B
n
，证明：b
n
=a
1
；
（Ⅲ）若n为奇数，且A
n
的“衍生数列”是B
n
，B
n
的“衍生数列”是C
n
，…．依次将数列A
n
，B
n
，C
n
，…的首项取出，构成数列Ω：a
1
，b
1
，c
1
，…．证明：Ω是等差数列．
首项为正数的数列{a
n
}满足
．
（1）当{a
n
}是常数列时，求a
1
的值；
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1
为奇数，则对一切n≥2，a
n
都是奇数；
（3）若对一切n∈N
*
，都有a
n+1
＞a
n
，求a
1
的取值范围；
（4）以上（1）（2）（3）三个问题是从数列{a
n
}的某一个角度去进行研究的，请你类似地提出一个与数列{a
n
}相关的数学真命题，并加以推理论证．
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