Question

17．已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）在x=e处的切线在y轴上的截距为2-e．
（1）求a的值；
（2）函数f（x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值，若不能说明理由．
（3）当1＜x＜2时，试比较$\frac{2}{x-1}$与 $\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$大小．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；
（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值，求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1函数的单调性，即可得到结论；
（3）当1＜x＜2时，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$，运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a．
依题设，得 $\frac{f（e）-（2-e）}{e-0}$=f′（e），即
e+1-a（e-1）-（2-e）=e（1+$\frac{1}{e}$+1-a），解得a=2．
（2）不能．
因为f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，记g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，则g′（x）=$\frac{x-1}{x2}$．
①当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，
所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；
②当0＜x＜1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是减函数，
所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0．
由①、②得f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以函数f（x）不能在x=1处取得极值．
（3）当1＜x＜2时，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$．证明如下：
当1＜x＜2时，由（2）得f（x）在（1，2）为增函数，所以f（x）＞f（1）=0．
即（x+1）lnx＞2（x-1），
所以 $\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$       ①
当0＜x＜1时，由（2）得f（x）在（0，1）为增函数，所以f（x）＜f（1）=0．
即（x+1）lnx＜2（x-1），
所以$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{x+1}{2（x-1）}$．      ②
当1＜x＜2时，0＜2-x＜1，由②得$\frac{1}{ln（2-x）}$＞$\frac{3-x}{2（1-x）}$，即-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$    ③
①+③得$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{2}{x-1}$．得证．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，同时考查不等式的大小比较，注意运用单调性和不等式的性质是解题的关键．