Question

（本小题满分16分）二次函数的图像顶点为，且图像在x轴上截得线段长为8

（1）求函数的解析式；

（2）令

①若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

②求函数在的最大值。

Answer 1

（1）;（2）①②函数在的最大值为

【解析】

试题分析：第一步由于函数的图像顶点为，可设二次函数的顶点式，图像在x轴上截得线段长为8，列方程求出，得到函数的解析式即可；第二步先写出的表达式，①由函数在上是单调函数，只需的图象（抛物线）的对称轴在的左侧或右侧；②由于图象抛物线的对称轴为直线，针对对称轴在区间的三种位置关系进行讨论，求出函数在的最大值，并用分段函数表示之 .

试题解析：（1）由条件设二次函数

令，得

∵图象在x轴上截得线段长为8，

有，又

∴函数的解析式为.

（2）①∵

∴

而函数在上是单调函数

又对称轴，

有

所以实数a的取值范围是

②，

对称轴，

当a＜0时，

当0≤a≤2时，

当a＞2时，

综上所述：函数在的最大值为

考点：1.待定系数法求函数的解析式；2.二次函数的单调性；3.二次函数的最值；4.分裂讨论思想