Question

某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：
61    76    70    56    81    91    55    91    75    81
88    67    101  103    57    91    77    86    81    83
82    82    64    79    86    85    75    71    49    45
（Ⅰ）完成下面的频率分布表；
（Ⅱ）完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；

（Ⅲ）在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内的概率．

分组	频数	频率
[41，51）	2	2 30
[51，61）	3	3 30
[61，71）	4	4 30
[71，81）	6	6 30
[81，91）
[91，101）
[101，111）	2	2 30

Answer 1

分析：（I）先将数据从小到大排序，然后进行分组，找出频数，求出频率，立出表格即可．
（II）先建立直角坐标系，按频率分布表求出频率/组距，得到纵坐标，画出直方图即可；利用空气质量指数在区间[71，81）的频率，即可求出a值．
（III）样本中空气质量质量指数在区间[91，101）内的有3天，记这三天分别为a，b，c，质量指数在区间[101，111）内的有2天，记这两天分别为d，e，列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．

解答：解：（Ⅰ）如下图所示．    …（4分）
（Ⅱ）如下图所示．…（6分）
由己知，空气质量指数在区间[71，81）的频率为

6

30

，所以a=0.02．…（8分）

分组	频数	频率
…	…	…
[81，91）	10	10 30
[91，101）	3	3 30
…	…	…

（Ⅲ）设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”，
由己知，质量指数在区间[91，101）内的有3天，
记这三天分别为a，b，c，
质量指数在区间[101，111）内的有2天，
记这两天分别为d，e，
则选取的所有可能结果为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）．
基本事件数为10．…（10分）
事件“至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”的可能结果为：
（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）．
基本事件数为7，…（12分）
所以P（A）=

7

10

．…（13分）

点评：本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率等等．