Question

半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为

1. A.
   2π
2. B.
   
3. C.
   3π
4. D.
   

Answer 1

B
分析：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h用α表示R，h，求出圆锥的体积V的表达式，利用基本不等式求出V_最小．
解答：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h 则：R=r•cotα=cotα，h=R•tan2α=cotα•tan2α=，
圆锥的体积V==
=，
而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1-tan²α＞0 又因为：tan²α+（1-tan²α）=1=定值
所以：当tan²α=1-tan²α，即tanα=时，V_最小==．
故选B．
点评：本题考查球与圆锥的位置关系，几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查空间想象能力计算能力．