Question

半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（　　）

• A．2π
• B．

  8π

  3

• C．3π
• D．

  11π

  3

Answer 1

分析：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h用α表示R，h，求出圆锥的体积V的表达式，利用基本不等式求出V_最小．

解答：解：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h 则：R=r•cotα=cotα，h=R•tan2α=cotα•tan2α=

2

1-tan2α

，
圆锥的体积V=

1

3

πR2h=

1

3

π ×(

1

tanα

)2×

2

1-tan2α

=

2π

3

×

1

(tan2α)(1-tan2α)

，
而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1-tan²α＞0 又因为：tan²α+（1-tan²α）=1=定值
所以：当tan²α=1-tan²α，即tanα=

2

2

时，V_最小=

2π

3

×

1

1 2 × 1 2

=

8π

3

．
故选B．

点评：本题考查球与圆锥的位置关系，几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查空间想象能力计算能力．