Question

已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由

1+x＞0 1-x＞0

，求得函数f（x）的定义域．
（2）根据定义域关于原点对称，再根据f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数．
（3）化简f（x）为lg（1-x²），再根据t=1-x² ≤1，求得f（x）≤lg1=0，由此求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）由

1+x＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）定义域关于原点对称，对于任意的x∈（-1，1），
∵f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），∴f（x）为偶函数．
（3）f（x）=lg[（1+x）（1-x）]=lg（1-x²）．
∵t=1-x² ≤1，∴y≤lg1=0，
∴函数f（x）的值域为（-∞，0]．

点评：本题主要考查对数函数的定义域、单调性、值域，属于中档题．