Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），过点E（，0）的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|
（Ⅰ）求椭圆的离心率
（Ⅱ）直线AB的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由AF₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，得，从而a²=3c²，故可求离心率；（Ⅱ）先设直线AB的方程为即y=k（x-3c），再与椭圆的方程2x²+3y²=6c²联立，又由题设知，点B为线段AE的中点，从而可求直线的斜率．
解答：解：（Ⅰ）由AF₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，得，从而a²=3c²，故离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b²=a²-c²=2c²，所以椭圆的方程可以写为2x²+3y²=6c²
设直线AB的方程为即y=k（x-3c）
由已知设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则它们的坐标满足方程组 
消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0
依题意，△＞0，而，
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x₁+3c=2x₂
联立三式，解得，，，将结果代入韦达定理中解得
点评：本题主要考查椭圆的离心率及直线的斜率，关键是找出几何量的关系，涉及直线与曲线的位置关系，通常是联立方程，借助于根与系数的关系求解，应注意判别式的验证．