Question

已知函数f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7．
（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b_n}，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）配方，确定函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标，从而可求数列{a_n}的通项，再证明为等差数列；
（Ⅱ）确定数列{b_n}的通项，进而可分段求出{b_n}的前n项和S_n．

解答：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7=[x-（n+1）]²+3n-8，
∴a_n=3n-8，---------（2分）
∴a_n+1-a_n=3（n+1）-8-（3n-8）=3，
∴数列{a_n}为等差数列．---------（4分）
（Ⅱ）解：由题意知，b_n=|a_n|=|3n-8|，---------（6分）
∴当1≤n≤2时，b_n=8-3n，Sn=b1+…+bn=

n(b1+bn)

2

=

n[5+(8-3n)]

2

=

13n-3n2

2

；----（8分）
当n≥3时，b_n=3n-8，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=5+2+1+…+（3n-8）=7+

(n-2)[1+(3n-8)]

2

=

3n2-13n+28

2

．---------（10分）
∴Sn=

13n-3n2 2 ，1≤n≤2 3n2-13n+28 2 ，n≥3

．---------（12分）

点评：本题考查数列与函数的关系，考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查分类讨论的数学思想，正确求数列的通项是关键．