Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx满足f(2)＝0且方程f(x)＝0有等根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)问是否存在实数m，n(m＜n)，使f(x)的定义域为［m，n］，值域为［2m，2n］，如存在，求出m，n的值，如不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)依题意，方程ax2＋(b－1)x＝0有等根 ∴(b－1)2＝0即b＝1 又f(2)＝0， ∴4a＋2b＝0，∴a＝－ ∴f(x)＝－x2＋x (2)∵f(x)＝－ (x－1)2＋≤ ∴2n≤，即n≤ ∵f(x)＝－ (x－1)2＋的对称轴为x＝1 ∴当n≤时，f(x)在［m，n］上为增函数． 设m，n存在，则 即 又m＜n≤，∴ 即存在实数m＝－2，n＝0，使f(x)的定义域为［－2，0］，值域为［－4，0］．

提示：

二次函数问题是函数中的重要题型，本题先用待定系数法确定解析式，然后再用m，n把定义域、值域联系起来，考查二次函数性质．