Question

（2008•虹口区一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面，且PA=3．
（1）求直线PC与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
（2）求异面直线PB与CD所成角的大小（结果用反三角函数表示）
（3）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer 1

分析：（1）四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面，连接AC，故可知∠PCA为直线PC与平面ABCD所成角，从而可求；
（2）由AB∥CD，故可知∠PBA为异面直线PB与CD所成角，从而可求；
（3）由于四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面，且PA=3，故可求四棱锥P-ABCD的表面积

解答：解：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面
连接AC，∴∠PCA为直线PC与平面ABCD所成角，
∴tan∠PCA=

3 2

8

∴∠PCA=arctan

3 2

8

；
（2）∵AB∥CD，∴∠PBA为异面直线PB与CD所成角，∴tan∠PBA=

3

4

∴∠PBA=arctan

3

4

；
（3）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面，且PA=3．
∴四棱锥P-ABCD的表面积=4×4×3=48．

点评：本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角、线线角，考查四棱锥P-ABCD的表面积，关键是利用条件找（作）出线面角、线线角，再用三角函数表示．