Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0，
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足，T_n为{b_n}的前n项和，求证：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，分别令n=1，2，3，能够依次求出a₂，a₃和a₄．
（2）由，知，所以a_n+2-a_n=2（n∈N*）．由此能够证明数列{a_n}是等差数列．
（3）由，得，，故．从而．由此能够证明2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．
解答：（1）解：，∴a₂=2，a₃=3，a₄=4…（4分）
（2）证明：已知式即，故
因为a_n≠0，当然a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N*）．
由于，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N*）．…（8分）
（3）解：由，得，
故．
从而.．
因此==
设
故．
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地，从而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N*．…（14分）
…..（14分）．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，综合性强，难度大，较繁琐，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．