Question

【题目】已知过点的椭圆的左右焦点分别为， 为椭圆上的任意一点，且成等差数列.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】试题分析：（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出的关系，再根据椭圆过点，求出的值，即可写出椭圆的标准方程；

（2）设，根据题意知，联立方程组，由方程的根与系数的关系求解，再由点在以为直径的圆外，得为锐角， ，由此列出不等式求出的取值范围.

试题解析：

（1）∵成等差数列，∴ ，

由椭圆定义得，∴；又椭圆过点，

∴；∴，解得， ；

∴椭圆的标准方程为；

（2）设， ，联立方程，消去得：

；

依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，∴， ，①

由方程的根与系数关系可得， ；②

可得 ；③

由①②③，解得， ；

由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；

由， ，

∴；即，

整理得， ，解得： 或.

∴实数的取值范围是或.