题目内容
13．已知非负实数a、b、c满足a+b+c=1，求$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最大值．分析 运用柯西不等式，化简整理，即可得到最大值．
解答 解：由于非负实数a、b、c满足a+b+c=1，
由柯西不等式可得
（1•$\sqrt{3a+1}$+1•$\sqrt{3b+1}$+1•$\sqrt{3c+1}$）2≤（12+12+12）（3a+1+3b+1+3c+1），
即有$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$≤$\sqrt{3[3（a+b+c）+3]}$=3$\sqrt{2}$．
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$，取得等号．
则$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最大值为3$\sqrt{2}$．
点评 本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
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