Question

直线l过点P（-2，1）且斜率为k（k＞1），将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得直线m，若直线l和m分别与y轴交于Q，R两点．
（1）用k表示直线m的斜率；
（2）当k为何值时，△PQR的面积最小？并求出面积最小时直线l的方程．

Answer 1

解：（1）设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α+45°，
，
∴直线l的方程为y-1=k（x+2），
（2）直线m的方程为
令x=0，得，
∴=
∵k＞1，
∴=≥
由得舍去），
∴当时，
△PQR的面积最小，最小值为，
此时直线l的方程是．
分析：（1）用点斜式求出m和l的方程，利用直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得直线m求出直线m的倾斜角为α+45°；进而得到直线m的斜率；
（2）求出R，Q两点的坐标，计算△PQR 的面积，变形后应用基本不等式求出它的最小值．
点评：本题考查一条直线到另一直线的角的定义，直线的点斜式方程，求两直线的交点坐标以及基本不等式的应用．把三角形的面积表达式变形后应用基本不等式是本题的难点和关键．