Question

直线l过点P（2，1），且分别与x，y轴的正半轴于A，B两点，O为原点．
（1）求△AOB面积最小值时l的方程；
（2）|PA|•|PB|取最小值时l的方程．

Answer 1

分析：（1）设AB方程为

x

a

+

y

b

=1，点P（2，1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面积面积的最小值．
（2）设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件．

解答：解：（1）设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，
AB方程为

x

a

+

y

b

=1，点P（2，1）代入得

2

a

+

1

b

=1≥2

2 ab

，∴ab≥8 
当且仅当

2

a

=

1

b

，且

2

a

+

1

b

=1，解得a=4，b=2时，等号成立，
故三角形OAB面积S=

1

2

ab≥4，
此时直线方程为：

x

4

+

y

2

=1，
即x+2y-4=0．
（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，
得A（2-

1

k

，0），B（0，1-2k）．
则|PA|•|PB|=

(4+4k2)(1+ 1 k2 )

=

8+4(k2+ 1 k2 )

≥4，
当且仅当k²=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，
又∵k＜0，
∴k=-1，
这时l的方程为x+y-3=0．

点评：本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用．