Question

9．已知函数f（x）=cos⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin⁴x
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由三角函数的周期性及其求法可求f（x）的最小正周期，令2x+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的对称轴．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可求得值域．

解答 解：（1）∵f（x）=cos⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin⁴x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
∴令2x+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的对称轴为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基础题．