Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（3）求满足f（1-t）＜f（t）的t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的定义域，再利用奇偶性的定义判断f（x）是定义域上的偶函数；
（2）f（x）在[0，+∞）上是单调减函数，用定义证明即可；
（3）根据题意，把不等式f（1-t）＜f（t）化为|1-t|＞|t|，求出解集即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，x∈R，
∴对任意x∈R，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{-x}{•4}^{x}}{{（4}^{-x}+1）{•4}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=f（x），
∴f（x）是R上的偶函数；
（2）f（x）在[0，+∞）上是单调减函数，用定义证明如下；
任取x₁、x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）{（2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}+1）}{{（4}^{{x}_{1}}+1）{（4}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵0≤x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$+1＞0，${4}^{{x}_{1}}$+1＞0，${4}^{{x}_{2}}$+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是[0，+∞）上的单调减函数；
（3）根据f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上的单调减函数；
∴不等式f（1-t）＜f（t）可化为|1-t|＞|t|，
即（1-t）²＞t²，
解得t＜$\frac{1}{2}$，
∴t的取值范围是t＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合题目．