Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且，n=1，2，3
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n与S_n﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列；
（3）求S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．

Answer 1

（1），；（2）S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0；（3）．

试题分析：（1）直接利用与的关系式求的值；（2）当时，把代入已知关系式可得与的关系式，再由此关系式，去凑出和，可得所求数列是等差数列，进而得通项的表达式，从而得的表达式；（3）由（2）中的表达式易求S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．
试题解析：（1）解：当n=1时，由已知得，解得，
同理，可解得 ．                  （4分）
（2）证明：由题设，
当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1，代入上式，得S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0，
∴，       （7分）
∴=﹣1+，
∴{}是首项为=﹣2，公差为﹣1的等差数列，        （10分）
∴=﹣2+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣1，∴S_n= ．    （12分）
（3）解：S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂=•• ••=．    （14分）