Question

如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求证：S-ABC为正三棱锥；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，证明底面三角形是正三角形，证明顶点S在底面的射影是底面的中心，就证明S-ABC为正三棱锥；
（2）SA=a，只要求出正三棱锥S-ABC的侧高SD与底面边长，即可求S-ABC的全面积．

解答：（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；
顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．
作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D．
因为SA⊥BC，所以AD⊥BC．又侧棱与底面所成的角都相等，
从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
故△ABC为正三角形，且O为其中心．所以S-ABC为正三棱锥．

（2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
所以SO=

3

2

a，AO=

1

2

a．因O为重心，所以AD=

3

2

AO=

3

4

a，
BC=2BD=2ADcot60°=

3

2

a，OD=

1

3

AD=

1

4

a．
在Rt△SOD中，SD²=SO²+OD²=（

3

2

a）²+（

1

4

a）²=

13

16

，则SD=

13

14

a．
于是，（S_S-ABC）_全=

1

2

•（

3

2

a）²sin60°+3•

1

2

•

13

4

a•

3

2

a=

3( 3 + 39 )

16

a²．

点评：本题考查棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．