Question

（2010•上饶二模）如图，设三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分别等于α₁，α₂，α₃．记△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面积分别为S₁，S₂，S₃，S，则下列四个命题：（1）S_i=Scosα_i（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，则∠BAC=60°（3）S²=S₁²+S₂²+S₃²．（4）α₁，α₂，α₃的取值可以分别是30°，45°，60°．
其中正确命题的序号是

（1）（2）（3）

（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：由题设知，cosαi=

Si

S

（i=1，2，3），所以S_i=Scosα_i（i=1，2，3）；由∠BAO=∠CAO=45°，知cos∠BAC=cos45°•cos45°=

1

2

，所以∠BAC=60°；设OA=a，OB=b，OC=c，H为垂心，故AD⊥BC，由OA、OB、OC两两垂直，知S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（ a² b²+b² c²+a² c²）=

1

4

a²（b²+c²）+

1

4

b² c²，由此能导出S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（b²+c²）•AD²=

1

4

BC²•AD²=S²；α₁，α₂，α₃的取值不可以分别是30°，45°，60°．

解答：解：由题设知，cosαi=

Si

S

（i=1，2，3），
∴S_i=Scosα_i（i=1，2，3），
故（1）成立；
∵∠BAO=∠CAO=45°，∴cos∠BAC=cos45°•cos45°=

1

2

，
∴∠BAC=60°，
故（2）成立；
如图
设OA=a，OB=b，OC=c，
∵H为垂心∴AD⊥BC，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴S₁=

1

2

ab，S₂=

1

2

bc，S₃=

1

2

ac  S=

1

2

BC•AD，
∴S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（ a² b²+b² c²+a² c²）=

1

4

a²（b²+c²）+

1

4

b² c²…①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC，
∴OB²•OC²=b² c²=OD²•BC²=OD²•（b²+c²）…②
∴②代入①得：S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（b²+c²）•AD²=

1

4

BC²•AD²=S²．
故（3）成立．
α₁，α₂，α₃的取值不可以分别是30°，45°，60°．
故（4）不成立．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：本题考查棱锥的结构特征，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．