Question

如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距（

6

+

2

）海里的M，N两地，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB，设塔底延长线与海平面交于点O．已知点M在点O的正东方向，点N在点O的南偏西15°方向，ON=2

2

海里，在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为30°和60°．
（1）求信号塔AB的高度；
（2）乙船试图在线段ON上选取一点P，使得在点P处观测信号塔AB的视角最大，请判断这样的点P是否存在，若存在，求出最大视角及OP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由条件可得∠MON=105°，在△MON中，由正弦定理求得sin∠OMN=

2

2

，∠OMN=45°，可得∠ONM=30°．再由正弦定理求得OM 的值，解直角三角形求出OA和OB的值，可得AB的值．
（2）假设存在符合条件的点P，令OP=x，0＜x≤2

2

，设∠OPA=α，∠OPB=β，可得视角θ=α-β，tanα 和 tanβ 的解析式，再由tanθ=tan（α-β），利用两角差的正切公式求出tanθ的最大值，并求出此时x的值．

解答：解：（1）由条件可得∠MON=105°，在△MON中，由正弦定理可得

MN

sin∠MON

=

ON

sin∠OMN

，
即

6 +  2

sin105°

=

2 2

sin∠OMN

，解得 sin∠OMN=

2

2

，∠OMN=45°，∴∠ONM=30°．
再由

OM

sin∠ONM

=

ON

sin∠OMN

 求得OM=2．
∵在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为30°和60°，∴OB=

2

3

=

2 3

3

，OA=2

3

，∴AB=

4 3

3

，
即信号塔AB的高度为

4 3

3

海里．
（2）假设存在符合条件的点P，令OP=x，0＜x≤2

2

，设∠OPA=α，∠OPB=β，
∴视角θ=α-β，tanα=

2 3

x

，tanβ=

2 3

3x

．
∴tanθ=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

4 3

3

×

1

x+ 4 x

．
由于x＞0，∴x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，当且仅当x=2时，等号成立，故tanθ≤

3

3

．
综上可得，满足条件的点P存在．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，两角差的正切公式、基本不等式的应用，属于中档题．