题目内容

如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距（ $数学公式$ $数学公式$ ）海里的M，N两地，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB，设塔底延长线与海平面交于点O．已知点M在点O的正东方向，点N在点O的南偏西15°方向，ON= $数学公式$ 海里，在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为30°和60°．
（1）求信号塔AB的高度；
（2）乙船试图在线段ON上选取一点P，使得在点P处观测信号塔AB的视角最大，请判断这样的点P是否存在，若存在，求出最大视角及OP的长；若不存在，说明理由．

解：（1）由条件可得∠MON=105°，在△MON中，由正弦定理可得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 sin∠OMN= $\text{[math]}$ ，∠OMN=45°，∴∠ONM=30°．
再由 $\text{[math]}$ 求得OM=2．
∵在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为30°和60°，∴OB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，OA=2 $\text{[math]}$ ，∴AB= $\text{[math]}$ ，
即信号塔AB的高度为 $\text{[math]}$ 海里．
（2）假设存在符合条件的点P，令OP=x，0＜x≤2 $\text{[math]}$ ，设∠OPA=α，∠OPB=β，
∴视角θ=α-β，tanα= $\text{[math]}$ ，tanβ= $\text{[math]}$ ．
∴tanθ=tan（α-β）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
由于x＞0，∴x+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =4，当且仅当x=2时，等号成立，故tanθ≤ $\text{[math]}$ ．
综上可得，满足条件的点P存在．
分析：（1）由条件可得∠MON=105°，在△MON中，由正弦定理求得sin∠OMN= $\text{[math]}$ ，∠OMN=45°，可得∠ONM=30°．再由正弦定理求得OM 的值，解直角三角形求出OA和OB的值，可得AB的值．
（2）假设存在符合条件的点P，令OP=x，0＜x≤2 $\text{[math]}$ ，设∠OPA=α，∠OPB=β，可得视角θ=α-β，tanα 和 tanβ 的解析式，再由tanθ=tan（α-β），利用两角差的正切公式求出tanθ的最大值，并求出此时x的值．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，两角差的正切公式、基本不等式的应用，属于中档题．