Question

已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB=4，GC=2，求点B到平面EFG的距离．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于O，由正方形的几何特点，三角形的中位线定理，及已知中GC垂直于ABCD所在平面，我们易得到EF⊥AC，EF⊥GC，进而由线面垂直的判定定理得到EF⊥平面GMC．
（2）建立空间直角坐标系C-xyz，求了平面GEF的法向量

n

，和平面GEF上任一点与O点连线的方向向量，如向量

BE

，代入距离公式d=

n • BE

| n |

，即可得到答案．

解答：解：（1）连接BD交AC于O，
∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．
∵GC垂直于ABCD所在平面
EF?平面ABCD
∴EF⊥GC
∵AC∩GC=C，…（6分）
∴EF⊥平面GMC．
（2）建立空间直角坐标系C-xyz，则G（0，0，2），E（4，2，0），F（2，4，0），B（4，0，0）
∴向量

GE

=（4，2，-2），向量

EF

=（-2，2，0）
设面GEF的法向量

n

=（x，y，z）
则

GE

•

n

=0且

EF

•

n

=0
即4x+2y-2z=0且-2x+2y=0
取x=1时，向量

n

=（1，1，3）
又∵向量

BE

=（0，2，0）
则B到面GEF的距离d=

n • BE

| n |

=

2 11

11

…12分

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点到平面距离的计算，其中（1）的关键是证得EF⊥AC，EF⊥GC，（2）中关键是建立空间坐标系，利用距离公式d=

n • BE

| n |

进行求解．