Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求证：{lga_n}是等差数列；
（2）设对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意可求得a₂的值，进而求得的值，进而看当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1求得判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得a_n，进而分别表示出lga_n和lga_n+1，根据lga_n+1-lga_n=1，判断出lga_n}n∈N^*是等差数列．
（2）根据（1）中求得a_n利用裂项法求得T_n，进而根据3-≥，进而根据求得m的范围．判断出m的最大正整数．
解答：解：（1）依题意，，
当n≥2时，a_n=9S_n-1+10①又a_n+1=9S_n+10②
②-①整理得：为等比数列，
且a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴lga_n=n∴lga_n+1-lga_n=（n+1）-n=1，
即{lga_n}n∈N^*是等差数列．
（2）由（1）知，
=∴，
依题意有，
故所求最大正整数m的值为5．
点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生对数列基础知识的综合把握．