题目内容

设函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．
解答：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≤0在区间（0，4）上恒成立
当k=0时，成立
k＞0时，f'（4）=12k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤ $\text{[math]}$
k＜0时，f'（4）=12k+6（k-1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0
故k的取值范围是k≤ $\text{[math]}$
故选D．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．