题目内容
已知
=(5
cosx，cosx)
=(sinx，2cosx)，函数f（x）=
•
+|
|2．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）当
≤x≤
时，求函数f（x）的值域．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| b |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）当
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
分析：（1）根据向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用周期公式，可求函数f（x）的最小正周期；
（2）由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
得kπ+
≤x≤kπ+
，从而可得f（x）的单调减区间；
（3）由
≤x≤
，可得
≤2x+
≤
，从而可求函数f（x）的值域．
（2）由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（3）由
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
解答：解：（1）∵
=(5
cosx，cosx)，
=(sinx，2cosx)，
∴函数f（x）=
•
+|
|2=5
sinxcosx+sin2x+6cos2x=
sin2x+
+3(1+cos2x)
=
sin2x+
+
=5sin（2x+
）+
∴f（x）的最小正周期T=
=π；
（2）由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z
∴f（x）的单调减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）
（3）∵
≤x≤
∴
≤2x+
≤
∴-
≤sin(2x+
)≤1
∴1≤f（x）≤
即f（x）的值域为[1，
]．
| a |
| 3 |
| b |
∴函数f（x）=
| a |
| b |
| b |
| 3 |
5
| ||
| 2 |
| 1-cos2x |
| 2 |
=
5
| ||
| 2 |
| 5cos2x |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 7 |
| 2 |
∴f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（2）由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴f（x）的单调减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（3）∵
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴1≤f（x）≤
| 17 |
| 2 |
即f（x）的值域为[1，
| 17 |
| 2 |
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与值域，化简函数是关键．
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