题目内容

设正项数列{a_n}的前n项和是S_n，若{a_n}和{ $数学公式$ }都是等差数列，且公差相等，则a₁=________．

$\text{[math]}$
分析：设公差为d，首项a₁，利用等差中项的概念列关系，通过两次平方运算及可求得答案．
解答：设公差为d，首项a₁
∵{a_n}，{ $\text{[math]}$ }都是等差数列，且公差相等，
∴2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
即2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
两端平方得：4（2a₁+d）=a₁+3a₁+3d+2 $\text{[math]}$ ，
4a₁+d=2 $\text{[math]}$ ，
两端再平方得：16 $\text{[math]}$ +8a₁d+d²=4a₁（3a₁+3d），
∴4 $\text{[math]}$ -4a₁d+d²=0，
d=2a₁，又两数列公差相等，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =a₂-a₁=d=2a₁，
即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2a₁，
解得：
2 $\text{[math]}$ =1，
∴a₁= $\text{[math]}$ 或a₁=0（{a_n}为正项数列，故舍）
∴a₁= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想，属于难题．

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