Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且AD=AB=2BC=2a．
（1）在棱PA上是否存在点E，使PC∥面EBD，若存在，求出E点位置，并证明．
（2）当PA=3a时，求二面角B-PC-A大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用平行线分线段成比例定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）通过结论空间直角坐标系，利用两个平面的法向量所成的夹角即可求出二面角的余弦值．

解答：解：（1）在棱PA上存在点E，使PC∥面EBD，其中AE=2EP．证明如下：
设AC∩BD=O，连接EO．
∵BC∥AD，∴

AO

OC

=

AD

BC

=2，
∵

AE

EP

=2，∴EO∥PC．
∵EO?平面EBD，PC?平面EBD．
∴PC∥平面EBD．
（2）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，a，0），P（0，0，3a）．
∴

BC

=（（0，a，0），

PC

=（（2a，a，-3a），

AP

=（0，0，3a）．
设平面PBC的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），
则

n1 • BC =0 n1 • PC =0

，即

ay1=0 2ax1+ay1-3az1=0

，则y₁=0，令x₁=3，
得z₁=2，∴

n1

=(3，0，2)．
设平面PAC的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
则

n2 • PC =0 n2 • AP =0

，即

2ax2+ay2-3az2=0 3az3=0

，则z₃=0，令x₂=1，得y₂=-2，∴

n2

=(1，-2，0)．
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

3

13 × 5

=

3 65

65

．
∴二面角B-PC-A大小的余弦值为

3 65

65

．

点评：熟练掌握平行线分线段成比例定理、线面平行的判定定理、通过结论空间直角坐标系利用两个平面的法向量所成的夹角求出二面角的余弦值是解题的关键．