Question

11．已知等比数列{a_n}中每一项都是正数，如果a₂=4，a₁•a₅=64
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）若数列{n•a_n}的前n的和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的性质可求得a₃=8，又a₂=4，从而可求得公比q=2，于是可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=2ⁿ，数列{n•a_n}的前n的和S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，利用错位相减法即可求得S_n．

解答 解：（1）∵正项等比数列{a_n}中，a₁•a₅=${{a}_{3}}^{2}$=64，
∴a₃=8，又a₂=4，
∴公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2，
∴a_n=a₂•2^n-2=2ⁿ．
（2）∵S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①，
∴2S_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②，
①-②得：-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式与性质的应用，突出考查错位相减法的运用，属于中档题．