Question

3．已知F₁、F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF₁|²-|PF₂|²=c²．则双曲线离心率的值为2．

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|PF₂|=b，运用余弦函数的定义和余弦定理，计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
F₂（c，0）到渐近线的距离为d=|PF₂|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
cos∠POF₂=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}}{c}$=$\frac{a}{c}$，
在△POF₁中，|PF₁|²=|PO|²+|OF₁|²-2|PO|•|OF₁|•cos∠POF₁
=a²+c²-2ac•（-$\frac{a}{c}$）=3a²+c²，
则|PF₁|²-|PF₂|²=3a²+c²-b²=4a²，
∵|PF₁|²-|PF₂|²=c²，
∴4a²=c²，
∴e=2．
故答案为2．

点评 本题考查考查双曲线的离心率，考查距离的平方差，注意运用双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，同时考查余弦定理的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．