Question

如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y²=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的标准方程，可求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到结论．

解答：（1）解：设抛物线C：y²=2px（p＞0），则2p=8，从而p=4
因此焦点F（2，0），准线方程为x=-2；
（2）证明：作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D．

则由抛物线的定义，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4，∴|FA|=

4

1-cosα

同理|FB|=

4

1+cosα

记直线m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-

|FA|+|FB|

2

=

1

2

(|FA|-|FB|)=

4cosα

sin2α

∴|FP|=

|FE|

cosα

=

4

sin2α

∴|FP|-|FP|cos2α=

4

sin2α

（1-cos2α）=8．

点评：本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．