Question

已知数列{a_n}满足S_n＋a_n＝2n＋1.

       （1）写出a₁, a₂, a₃,并推测a_n的表达式；

       （2）用数学归纳法证明所得的结论.

Answer 1

       解：(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝,  猜测 a_n＝2－  

       (2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立； 

       ②假设n＝k时,命题成立，即 a_k＝2－, 

      当n＝k＋1时, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,

      且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k

      ∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

        ∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－,                 

      即当n＝k＋1时,命题成立. 根据①②得n∈N⁺ , a_n＝2－都成立。