Question

已知函数f（x）=

3

sin

x

4

•cos

x

4

-sin2

x

4

+1．
（1）若f（x）=1，求cos(

2π

3

-x)的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+

1

2

c=b，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析：由题意得f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos 2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

．
（1）若f（x）=1，可得sin（

x

2

+

π

6

)=

1

2

=

1

2

，利用cos(

2π

3

-x)=2sin 2(

x

2

+

π

6

)-1，即可得到结论；
（2）由acosC+

1

2

c=b，得b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可求A的值，进而可得0＜B＜

2π

3

，0＜

B

2

＜

π

3

，从而可求f（B）的取值范围．

解答：解：由题意得f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos 2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

．
（1）若f（x）=1，得sin（

x

2

+

π

6

)=

1

2

=

1

2

，∴cos(

2π

3

-x)=2sin 2(

x

2

+

π

6

)-1=-

1

2

．
（2）由acosC+

1

2

c=b，得b²+c²-a²=bc，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

．
∴A=

π

3

∴B+C=

2π

3

∴0＜B＜

2π

3

，0＜

B

2

＜

π

3

∴

π

6

＜

B

2

+

π

6

＜

π

2

∴

1

2

＜sin(

B

2

+

π

6

)＜1
∴f（B）=sin(

B

2

+

π

6

)+

1

2

∈(1，

3

2

)．

点评：本题考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，考查三角函数的性质，正确化简函数是关键，属于中档题．