Question

设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意的正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立．已知f(2)＝1，且x＞1时，f(x)＞0．

(1)求的值；

(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给出你的证明；

(3)解不等式f(x²)＞f(8x－6)－1．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)令x＝y＝1，则可得f(1)＝0，再令x＝2，y＝，得f(1)＝f(2)＋f()，故f()＝－1；2分

　　(2)设0＜x₁＜x₂，则f(x₁)＋f()＝f(x₂)即f(x₂)－f(x₁)＝f()，

　　∵＞1，故f()＞0，即f(x₂)＞f(x₁)故f(x)在(0，＋∞)上为增函数；6分

　　(3)由f(x²)＞f(8x－6)－1得f(x²)＞f(8x－6)＋f()＝f[(8x－6)]，

　　故得x²＞4x－3且8x－6＞0，解得解集为{x|＜x＜1或x＞3}；10分