Question

【题目】如图1，矩形中，，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，如图2．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取BC的中点F，AE的中点O，连结，，,则可证平面,得出BC⊥PO，又PO⊥AE得出PO⊥平面ABCE，于是平面APE⊥平面ABCE．

（II）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为, 设直线与平面所成的角为,根据求解即可.

（Ⅰ）取的中点，的中点，连接，，，

由已知得，四边形是梯形，，

∴，∴，

∵，∴，

又，∴平面，

∴

由已知得，∴,

又与相交∴平面 ,

∵平面，

∴平面平面.

（II）建立空间直角坐标系，如图所示,设，

则，，，,

∴，，设平面的法向量为,

则，∴，取，得,

又，设直线与平面所成的角为,

则 .